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Numerical analysis for finite volume schemes for population balance equations

Autor :Rajesh Kumar
Herkunft :OvGU Magdeburg, Fakultät für Mathematik
Datum :18.03.2011
 
Dokumente :
Dataobject from HALCoRe_document_00010379
 
Typ :Dissertation
Format :Text
Kurzfassung :Diese Doktorarbeit beschreibt die numerische Analysis von Finite-Volumen-Methoden für Populationsbilanzgleichungen in Partikelprozessen, die Aggregation, Bruch, Wachstum und Quellterme einbeziehen. Diese Gleichungen sind eine Art von partiellen Integro-Differentialgleichungen. Solche Gleichungen können nur für einige spezielle Aggregations- und Bruchkerne analytisch gelöst werden. Dies motiviert uns, numerische Verfahren und die numerische Analysis für diese Gleichungen zu studieren. Es gibt mehrere mathematische Ergebnisse zur Existenz von schwachen Lösungen für die Aggregations-Bruch-Gleichungen mit verschiedenen Klassen von Aggregations- und Bruchkernen. Vor kurzem untersuchten Bourgade und Filbet [7] die Konvergenz von Finite-Volumen-approximierten Lösungen gegen schwache Lösungen der kontinuierlichen binären Aggregations-Bruch-Gleichungen unter der Annahme der lokalen Beschränktheit der Kerne. Weiterhin haben sie nur Fehlerabschätzungen erster Ordnung auf gleichmässigen Gittern mit eingeschränkteren Kernen gezeigt. Allerdings wurden der Fall multipler Fragmentation und die Fehleranalyse auf allgemeinen Gittern nicht diskutiert. Ein ähnlicher Ansatz ist auch geeignet, um die Konvergenz von Finite-Volumen-diskretisierten Lösungen gegen eine schwache Lösung des kontinuierlichen Gleichungen zu zeigen, wenn multipler Bruch in Betracht gezogen wird. Dies ist das erste Ziel dieser Arbeit. Das zweite Ziel ist es, die Konvergenzanalyse des Finite-Volumen-Methode für die Aggregations- und multiplen Bruchgleichungen auf fünf verschiedenen Arten von gleichmässigen und ungleichmässigen Gittern zu studieren. Wir stellen fest, dass das Schema von zweiter Ordnung konvergent ist, unabhängig vom Gitter für das reine Bruchproblem. Darüber hinaus zeigt sich sowohl für reine Aggregations als auch für kombinierte Gleichungen Konvergenz zweiter Ordnung nur auf gleichmässigen, ungleichmässigen glatten und lokal gleichmässigen Gittern. Zudem haben wir Konvergenz nur erster Ordnung auf oszillierenden und zufälligen Gittern. Ein numerisches Verfahren wird als Momente-erhaltend bezeichnet, falls es das zeitliche Verhalten eines gegebenen Momentes korrekt wiedergibt. Einige Autoren haben verschiedene numerische Methoden vorgeschlagen, die die Momenteerhaltung numerisch zeigen bezüglich der Gesamtanzahl oder Gesamtmasse für einen einzelnen Prozess der Aggregation, Bruch, Wachstum und Quellterme. Allerdings verursacht die Kopplung aller Prozesse keine Erhaltung irgendwelcher Momente. Bis jetzt gab es keinen mathematischen Beweis, der die Bedingungen angibt, unter denen ein numerisches Schema dann Momente-erhaltend ist oder nicht. Das dritte Ziel dieser Arbeit ist es, die Kriterien für die Erhaltung der verschiedenen Momente zu studieren. Auf der Grundlage dieser Kriterien bestimmen wir für jeden Prozess Bedingungen, unter denen das nullte und erste Moment erhalten bleiben. Ferner schlagen wir Finite-Volumen-Schemen für alle gekoppelten Prozesse vor, die ein Moment oder zwei Momente erhalten. Wir überprüfen die Momente-erhaltenden Resultate analytisch und numerisch. Die numerischen Überprüfungen werden für mehrere gekoppelte Prozesse ausgeführt, für die analytische Lösungen der Momente verfügbar sind. Die Fixed-Pivot (FP)-Methode und die Cell-Average-Technik (CAT) für des Lösen von zweidimensionalen Aggregationsgleichungen unter Verwendung von einen rechteckigen Gitter wurde in J. Kumar et al. [44] umgesetzt. Kürzlich untersuchten Chakraborty und Kumar [9] das FP-Schema für das gleiche Problem auf zwei verschiedenen Arten von Dreiecksgittern. Sie fanden heraus, dass die Methode bessere Ergebnisse für die Anzahldichte liefert auf Dreiecksgittern verglichen mit Rechteckgittern. Allerdings wurde die Diskussion von höheren Momenten ignoriert. In unserer Arbeit vergleichen wir verschiedene Momente, die durch die FP-Technik auf Rechtecks- und Dreiecksgittern berechnet wurden, mit analytischen Momenten. Numerische Simulationen zeigen, dass die Methode die Resultate für höhere Momente nicht verbessert. Des Weiteren führen wir eine neue mathematische Formulierung der CAT ein für die beiden verschiedenen Arten von Dreiecksgittern, die von Chakraborty und Kumar [9]betrachtet werden. Die neue Formulierung ist einfach zu implementieren und liefert eine bessere Genauigkeit verglichen mit den Rechteckgittern. Es werden drei verschiedene Testprobleme betrachtet, um die Genauigkeit beider Schemata durch der Vergleich der analytischen und numerischen Lösungen zu analysieren. Die neue Formulierung zeigt eine gute Übereinstimmung mit den analytischen Ergebnissen sowohl für die Anzahldichte als auch für höhere Momente. Schliesslich stellen wir einige Anwendungen von Aggregations-Bruch-Gleichungen in der Nano-Technologie vor. Wir lösen die Gleichungen unter Verwendung der Cell-Average-Methode und vergleichen die Simulationsergebnisse mit den experimentellen Daten mit Hilfe eines Scher-Aggregationskernes zusammen mit zwei verschiedenen Bruchkernen.
Schlagwörter :Population balance, Finite volume scheme, Aggregation, Breakage, Cell average technique
Rechte :Dieser Text ist urheberrechtlich geschützt
Größe :VIII, 134 S.
 
Erstellt am :29.03.2011 - 08:18:49
Letzte Änderung :29.03.2011 - 08:19:27
MyCoRe ID :HALCoRe_document_00010379
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