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Mathematical and numerical analysis for coagulation-fragmentation equations

Autor :Ankik Kumar Giri
Herkunft :OvGU Magdeburg, Fakultät für Mathematik
Datum :25.11.2010
 
Dokumente :
Dataobject from HALCoRe_document_00009299
 
Typ :Dissertation
Format :Text
Kurzfassung :Diese Doktorarbeit ist der mathematischen und numerischen Analysis der Gleichung des kontinuierlichen Koagulations- und Fragmentationsprozesses gewidmet. Dieses ist eine partielle Integro-Differential-Gleichung. Es gibt zahlreiche Untersuchungen zur Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen einer Koagulations- und binären Fragmentationsgleichung mit unterschiedlichen Klassen von Kernfunktionen. Der Fall der mehrfachen Fragmentation ist dagegen noch nicht eingehend untersucht worden. Das erste Ziel dieser Arbeit ist ein Existenznachweis für Lösungen einer kontinuierlichen Koagulations- und mehrfachen Fragmentationsgleichung für eine grosse Klasse von Kernfunktionen. Wir möchten hier solche Koagulationskerne behandeln, die in der bisherigen Literatur für das Studium einer kontinuierlichen Koagulationsund mehrfachen Fragmentationsgleichung nicht berücksichtigt wurden. Auch ein Eindeutigkeitsnachweis für solche Lösungen ist in diesem Zusammenhang von grossem Interesse. Jedoch müssen wir für diesen Eindeutigkeitsnachweis einschränkendere Bedingungen an die Kernfunktionen stellen. Das zweite Ziel ist der Eindeutigkeitsnachweis für Lösungen einer Koagulations- und bin¨aren Fragmentationsgleichung mit Massenerhalt. In diesem Fall wurde die Existenz massenerhaltender Lösungen von Escobedo et al. [27] für eine grosse Klasse von Koagulationskernen mit starker Fragmentation gezeigt. Die starke Fragmentation verhindert das Auftreten von Gelbildungsprozessen und liefert die Existenz massenerhaltender Lösungen falls für die Klasse der Koagulationskerne ein Wachstum vorliegt, das stärker als linear ist. Man beachte dabei, dass Prozesse mit Gelbildung im allgemeinen zu Lösungen führen, die den Massenerhalt verletzen. Daher werden für den Eindeutigkeitsnachweis zusätzliche Wachstumsbedingungen an die Fragmentationskerne gestellt. Das dritte Ziel ist das vorher gewonnene Existenzresultat auf Gleichungen mit Koagulationsund mehrfache Fragmentation zu erweitern. In diesem Teil konnten wir einige mehrfache Fragmentationskerne abdecken, die in der Literatur noch nicht behandelt wurden. Die Koagulationskerne sind die Gleichen wie im vorhergehenden Teil. Das nächste Ziel ist die Entwicklung einer Konvergenzanalysis von Diskretisierungsmethoden zur Lösung der nichtlinearen reinen Koagulationsgleichung. Zuerst untersuchen wir die populärste Methode, nämlich die “fixed pivot”-Technik. Hier untersuchen wir die Konvergenz des Schemas auf fünf unterschiedlichen Gittertypen. Wir erhalten ein Verfahren, das zweiter Ordnung genau ist für äquidistante und nicht äquidistante glatte Gitter, während es für lokal äquidistante Gitter nur eine Genauigkeit erster Ordnung liefert. Dabei tritt das unerwünschte Resultat auf, dass das Schema für oszillierende oder zufällige Gitter gar nicht konvergiert. Schliesslich testen wir die mathematischen Resultate anhand einiger numerischer Simulationen. ii Die “fixed pivot”-Technik gibt eine konsistente Überschätzung der Lösung bei grossen Partikeln, wenn sie auf groben Gittern angewendet wird. Um dieses Problem zu bewältigen, wurde die Technik der Zellmittelung eingeführt, die alle Vorteile der “fixed pivot”-Technik enthält, aber die numerischen Ergebnisse verbessert. In der Arbeit haben wir dazu einige numerische Experimente durchgeführt. Die gewonnenen Resultate haben wir mit den Resultaten der ’fixed Pivot technik’ verglichen. Diese Zellteilungsmethode liefert Konvergenz zweiter Ordnung auf gleichmässigen, ungleichm¨assigen aber glatten und lokal gleichmässigen Gittern. Nimmt man oszillierende oder zufällige Gitter, konvergiert die Methode nur mit erster Ordnung. Das heisst die Technik der Zellmittelung hat höhere Konvergenzordnung als die Fix pivot Technik für gleichmässigen, ungleichmässigen aber glatten und lokal gleichmässigen Gitter. Der mathematische Beweis der höheren Ordnung ist ein offenes Problem.
Schlagwörter :Existence, uniqueness, weak compactness, gronwall's inequality, convergence, fixed pivot technique, cell average technique
Rechte :Dieser Text ist urheberrechtlich geschützt
Größe :IV, 151 S.
 
Erstellt am :30.11.2010 - 12:59:11
Letzte Änderung :30.11.2010 - 12:59:53
MyCoRe ID :HALCoRe_document_00009299
Statische URL :http://edoc.bibliothek.uni-halle.de/servlets/DocumentServlet?id=9299