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Numerical approximations of population balance equations in particulate systems

Autor :Jitendra Kumar
Herkunft :OvGU Magdeburg, Fakultät für Mathematik
Datum :04.10.2006
 
Dokumente :
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Typ :Dissertation
Format :Text
Kurzfassung :In dieser Arbeit wird eine neue Methode zur Lösung von Populationsbilanzen, die sogenannte Cell-Average-Methode(CA-Methode), vorgestellt. Der neue Ansatz basiert prinzipiell auf der Fixed-Pivot-Methode (FP-Methode), [Chemical Engineering Science 51:1311-1332, 1996] welche jedoch um eine zweistufige Lösungsstrategie erweitert wurde. In einem ersten Schritt wird die mittlere Größe aller neuentstandenen Partikel in einer Klasse ermittelt. Dieser Mittelwert wird als der Cell-Average bezeichnet. Diesem CA werden dann alle neuentstandenen Partikel zugeordnet. In einem zweiten Schritt werden dann diese gemittelten Partikel den benachbarten Knotenpunkten so zugeordnet, dass interessierende Eigenschaften der Population (Momente) exakt erhalten bleiben. Die größte Bedeutung der neuen Methode im Hinblick auf mögliche Anwendungen besteht darin, dass die numerische Berechnung der Populationsbilanz auch für Probleme anwendbar ist, bei der andere Methoden versagen. Genannt seien hier Anwendungen bei denen Gelbildung (gelation) erfolgen kann. Wie gezeigt wurde, divergiert die FP-Methode für diesen Fall stark, da die Anzahldichte stark überschätzt wird. Ein Vergleich der numerischen Ergebnisse der FP-Methode und des neuen CA-Ansatzes mit analytischen Lösungen zeigt, dass die neue Methode die Unterschätzung der Anzahldichte in mittleren Größenbereichen und die Überschätzung für große Partikel signifikant verringert. Weiterhin wurde der neue Ansatz auf physikalisch relevante Probleme angewendet. Diese Ergebnisse wurden mit den Resultaten der FP-Methode und verallgemeinerten Approximationen verglichen. Die numerischen Ergebnisse der neuen Methode für diese Probleme sind vergleichbar mit den verallgemeinerten Approximationen, während die FP-Methode in allen Fällen die Lösung stark überschätzt. Die vorgeschlagene CA-Methode kann sowohl auf regelmäßige Gitter, wie geometrische oder lineare Diskretisierungen, als auch auf unregelmäßige Gitter angewendet werden. Weiterhin ist das CA-Verfahren konsistent mit dem nullten und ersten Moment der Verteilung. Die numerischen Ergebnisse haben gezeigt, dass der neuvorgeschlagene CA-Ansatz zusätzlich sowohl das zweite Moment als auch die gesamte Verteilung der Population hervorragend wiedergibt. Zusätzlich können aber auch weitere höhere Momente oder eine größere Anzahl von Momenten erhalten werden, indem die Partikel nicht nur auf die zwei benachbarten sondern auf weitere angrenzende Gitterpunkte verteilt werden. Für das Problem des Wachstums der Partikel wurde ein völlige neuer Lösungsansatz präsentiert. Bei diesem Ansatz wird das Wachstum als Aggregation von vorhandenen Partikeln mit kleinen imaginären Keimen beschrieben. Somit konnte die Populationsbilanz für Wachstum in eine Bilanz für die Aggregation transformiert werden, wobei die Aggregationsrate in Form einer Wachstumsrate ausgedrückt wurde. In Konsequenz konnte die neuentwickelte CA-Methode auf die transformierte Populationsbilanz für Wachstum angewandt werden. Allerdings hat sich gezeigt, dass die Ergebnisse dieser Modifikation sehr stark zu numerischen Diffusion neigen. Trotzdem kann die CA-Methode die ersten zwei Momente exakt abbilden, ohne dass Probleme bei der Berechnung auftreten. Weiterhin wurde ein neuer Ansatz für die Kopplung von verschiedenen Prozessen präsentiert. Alle Prozesse bei denen sowohl Wachstum als auch Keimbildung involviert waren, wurden gleichartig behandelt. Es wurde gezeigt, dass der neue Ansatz der Kopplung nicht nur genauer ist, sondern auch einen geringeren Rechenaufwand erfordert. Dieser geringe Aufwand wird dadurch erreicht, dass alle durch Aggregation, Bruch, Wachstum und Keimbildung entstehenden Partikel simultan durch die Bildung eines Mittelwertes berücksichtigt werden. Ein wesentlicher Erfolg dieser Kopplung besteht bei Prozessen bei den Wachstum in Kopplung mit weiteren Mechanismen auftritt. Sobald ein Wachstumsprozess involviert ist, ist die stabile numerische Lösung der Populationsbilanz sehr schwierig. Der neue Ansatz der gekoppelten Betrachtung mehrerer Prozesse vereinfacht die numerische Beschreibung und erhöht die Genauigkeit der Ergebnisse. Zusätzlich wurde die Populationsbilanz für Bruch in eine Form überführt, welche die Massenerhaltung abbildet. In dieser Form konnte sehr leicht die finite Volumenmethode angewendet werden, welche als charakteristische Eigenschaft die Massenerhaltung aufweist. Obwohl die finite Volumenmethode im Vergleich zur CA-Methode eine erhöhte Genauigkeit bei der Berechnung der Verteilungsdichte aufweist, ist die Bestimmung des nullten Momentes jedoch erheblich schlechter. Neben der Stabilität und der Konvergenz der finiten Volumenmethode wurden weitere Eigenschaften der numerischen Lösung genau untersucht. Weiterhin wurde die vorgeschlagene finite Volumenmethode für Bruchprobleme mit bekannten Schemata für die Aggregation gekoppelt. Um die Effektivität beider Verfahren (finite Volumenmethode und CA) abschätzen zu können, wurden die berechneten Anzahldichten für verschiedene Anwendungsfälle verglichen. Im Rahmen dieser Arbeit wurde die CA und die FP-Methode so erweitert, dass sie auf die zweidimensionale Populationsbilanz für Aggregation angewendet werden können. Die numerischen Verfahren basieren wiederum auf dem Prinzip der exakten Erhaltung ausgewählter Momente. In dieser Arbeit wurde jeweils das nullte und erste Moment berücksichtigt. Beim CA-Ansatz werden wiederum alle neuentstehenden Partikel in einer Gitterzelle gemittelt und dann auf die benachbarten Knotenpunkte verteilt, so dass die erforderlichen Momente erfüllt sind. Bei der FP-Methode hingegen werden alle neuen Partikel separat auf die benachbarten Knoten verteilt. Durch diese individuelle Verteilung der Partikel wurde ein zusätzliches Quermoment der Verteilung korrekt beschrieben. Die CA-Methode hingegen ist lediglich mit den ersten beiden Momenten konsistent. Die Genauigkeit der numerischen Ergebnisse wurde anhand des Vergleiches von Anzahldichteverteilungen und zeitlichen Verläufen der Momente analysiert. Diese Ergebnisse zeigen, dass beide Methoden das Potential haben sowohl die Verteilungsdichte als auch ausgewählte Momente zu bestimmen. Ähnlich jedoch wie bei der eindimensionalen Populationsbilanz ist der CA basierte Ansatz bei der Genauigkeit hinsichtlich der Verteilung sowie höherer Momente der FP-Methode überlegen.
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Erstellt am :17.07.2008 - 07:56:09
Letzte Änderung :22.04.2010 - 09:27:11
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